Exercício: Simulador das 3 leis de Kepler

UM FANTÁSTICO SIMULADOR DAS LEIS DE KEPLER :::

Nebraska-Lincoln University

Simulador do movimento dos planetas e das Leis de Kepler

No post anterior citei a Primeira Lei de Kepler para lembrar ao leitor do blog que a Terra estava passando pelo afélio, ponto da órbita mais afastado do Sol.
As Leis de Kepler, que são três, descrevem com muita precisão as órbitas dos planetas do Sistema Solar⁽¹⁾:

Johannes Kepler (1571-1630)

Lei das Órbitas (1609) "Os planetas do Sistema Solar descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol que se encontra num dos focos" Lei das Áreas (1609) "A linha imaginária que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais" Lei Harmônica ou Lei dos Períodos (1619)"O quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita" T² = K.a³ onde K é uma constante]

Já faz um tempo que uso em sala de aula um aplicativo em Flash com excelente resultado didático. Ele nos permite entender incrivelmente bem o que dizem as três Leis de Kepler acima enunciadas.

Quer conhecê-lo? Clique aqui para abrir noutra janela o aplicativo que é gratuito e vem do site da Universidade de Nebraska-Lincoln nos Estados Unidos.   

Na janela do aplicativo há 5 áreas diferentes que, para efeito didático, numerei de 1 a 5 (em vermelho) na imagem abaixo:

As áreas 1 a 4 são fixas. A área 5 muda conforme a lei de Kepler escolhida em cada uma das três abas laterais:

• "Kepler's 1st Law" (primeira aba, com a primeira lei)
• "Kepler's 2st Law" (segunda aba, com a segunda lei)
• "Kepler's 3st Law" (terceira aba, com a terceira lei)

Existe ainda uma quarta aba, a "Newtonian Features", que permite acrescentar à simulação (por check box) os vetores Velocidade e Aceleração orbital do planeta bem como as linhas (line) que dão as direções desses vetores ao longo da órbita. 

Como sempre digo quando apresento algum software ou aplicativo para os alunos em sala de aula, em palestras ou aqui no blog, a melhor maneira de aprender é ir mexendo no programa, sem medo, e vendo o que acontece, em tempo real.

Mas, para agilizar a sua curva de aprendizagem,  vou passar algumas dicas:

• Área 1
   
  Esta área (de fundo preto) é o palco onde a animação propriamente dita vai rodar. Assim que o aplicativo é aberto, nela você vai ver um planeta genérico (inicial) em forma de pontinho cuja órbita estará desenhada em cinza claro. Mas a animação, de imediato, está pausada.
  Observe que uma linha no canto superior direito define uma escala de comprimento, ou seja, nos dá uma ideia de tamanho. Os valores sempre estarão em AU - Astronomical Unit (ou Unidade Astronômica). 1 AU corresponde à distância média Terra-Sol (aproximadamente 150 milhões de quilômetros) 
• Área 3 - "Animation Control"
  É aqui que tudo começa pra valer. Clique no botão  "start animation" e a simulação terá início. Você vai ver o planeta genérico orbitando o Sol.
  É possível mudar a velocidade da animação pelo controle deslizante "animation rate" que dá a taxa de animação medida em yrs/s (years by second ou anos por segundo). Para planetas mais distantes do Sol, é conveniente aumentar a taxa para que a animação não fique extremamente lerda.
• Área 2 - "Orbit Settings"
  Nesta área há dois controles deslizantes:
  - (I) "semimajor axis" que permite alterar o tamanho do semieixo maior da órbita. Note que ele é medido em AU - Astronomical Unit (ou Unidade Astronômica).
  - (II) "Eccentricity" que permite alterar a excentricidade orbital, ou seja, deixar a órbita circular (e = 0) ou eliptica (e > 0). No que, quanto maior a excentricidade e, mais oval fica a elipse. Observe ainda que a excentricidade é um número adimensional, ou seja, sem unidade de medida.
  
  Há ainda nessa área um menu suspenso que permite selecionar um planeta específico do Sistema Solar, de Mercúrio até Plutão. Vale lembrar que desde 2006 Plutão foi reclassificado com planeta-anão mas aqui continua sendo chamado de planeta. Note que a órbita continua representada em cinza claro.
• Área 4 - "Vizualization Options"
  Aqui dá para escolher via check box os seguintes recursos:
  - (I) "show solar system orbits" que permite mostrar (em laranja) as outras órbitas do sistema solar. A órbita do planeta genérico (inicial) continuará representada em cinza claro. Somente ela pode ser alterada pelo aplicativo. As órbitas em laranja são fixas e obecem a uma escala real de tamanho.
  - (II) "show solar system planets" que mostra os planetas do Sistema Solar representados por pontinhos (fora de escala). Os planetas (pontinhos) se movem com suas velocidades reais que, assim como suas órbitas, obedecem a uma escala real.
  - (III) "label the solar system orbits" que nos dá os nomes dos planetas do sistema solar representados.
  - (IV) "show grid" que mostra um quadriculado reticular sob as órbitas.
  - O botão "clear optional features" limpa todas as alterações que você fez no simulador, voltando ao estado inicial, ou seja, àquele em que o aplicativo é aberto pela primeira vez, com um planeta genérico.
• Área 5 - com quatro abas
  Primeira aba (Primeira Lei)
  Clicando na primeira aba (que já vem selecionada por padrão quando o aplicativo é aberto pela primeira vez) você pode escolher, via check box:
  - "show empty focus" que mostra o segundo foco da elipse ou foco vazio^(2).- "show center" que mostra o centro da órbita, o que é bem bacana para diferenciá-lo dos dois focos.
  - "show semiminor axis" que mostra o semieixo menor da elipse.
  - "show semimajor axis" que mostra o semieixo maior (normalmente denotado por a e que é importante na Terceira Lei de Kepler).
  - "show radial lines" que permite visualizar as linhas radiais ou seja, as linhas imaginárias (de comprimentos variáveis r₁ e r₂) que ligam o planeta a cada um dos focos da elipse⁽³⁾.
  Segunda aba (Segunda Lei)Clicando na segunda aba você poderá ajustar parâmetros relativos à Segunda Lei de Kepler:
  - o botão "start sweeping" inicia (no momento do clique) um processo que pinta uma fatia de área imaginária varrida pela linha imaginária que liga o planeta ao Sol num determinado intervalo de tempo. Cada vez que você clica neste botão, no exato instante do clique, é como se disparasse um relógio que vai sempre medir um mesmo intervalo de tempo (com base no tamanho da área que você escolher pelo botão "adjust size" - veja abaixo). Segundo Kepler, todas estas áreas têm o mesmo valor se o intervalo de tempo for o mesmo. Note que, a cada clique, uma nova área é pintada, numa cor diferente da área anterior.
  - o botão deslizante "adjust size" permite regular o tamanho da fatia de área que será pintada (ou a que fração da área total da elípse tal fatia corresponde). O valor inicial (padrão) de cada fatia de área é 1/16 ou 6,3 % o que corresponde a um intervalo de tempo de 1 ano/16 = 0,0625 ano ("0,0625 year duration") e uma fatia de área de 0,180 UA quadradas (ou 0,180 UA square). Se você alterar o tamanho da fatia, o aplicativo automaticamente calcula o tempo (em anos) e a área (em AU ao quadrado) de cada fatia.
  - o check box "sweep continuosly" é bem interessante porque desenha automaticamente uma área seguida da outra, sem deixar espaços entre as diversas fatias de área. O tamanho/tempo de cada fatia vai depender da escolha feita pelo "adjust size".
  - o check box "use sound effect" acrescenta um barulhinho ao final de cada  área pintada. O recurso pode ser interessante para deixar claro que os intervalos de tempo de cada fatia de área tempo são sempre os mesmos, o que é importantíssimo para a compreensão da Segunda Lei de Kepler.
  Terceira aba (Terceira Lei)Clicando na terceira aba você verá um gráfico do período P⁽⁴⁾ (em years ou anos) em função do semieixo maior da órbita (em AU), parâmetro que (como já comentei) denotamos por a. Estes valores correspondem ao planeta genérico, aquele que tem a sua órbita desenhada em cinza claro e cujos parâmetros orbitais você pode alterar na simulação. Os outros planetas do Sistema Solar, representados em laranja, como já disse e ratifico, têm parâmetros fixos que você não consegue alterar.
  É interessante notar que a simulação permite escolher o "plot type" ou tipo de representação gráfica:
  - "linear" que mostra o gráfico com valores lineares de P e a.
  - "logarithmic" que mostra os gráfico com os valores de P e a numa escala logarítmica, o que lineariza a curva.
  Quarta aba (Newtonian Features)Por esta aba dá para habilitar a visualização dos vetores velocidade V e aceleração a do planeta. Isso é feito via check box "vector". Note que a velocidade é medida em km/s e a aceleração em m/s².
  Também é possível habilitar a visualização da direção de cada vetor usando o check box "line". É um recurso bem bacana para mostrar como a velocidade e a aceleração variam em intensidade e em direção/sentido ao longo da órbita.

Um Breve Histórico

 

O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) foi brilhante em sua área de atuação. Nascido em Weil der Stadt, ele estudou teologia na Universidade de Tübingen. Depois, passou para o campo da matemática e tornou-se professor em 1593. Como parte de suas tarefas na universidade, Kepler escreveu um calendário anual e um almanaque, usando o sistema planetário heliocêntrico para facilitar os cálculos.

Em 1596, publicou Mysterium Cosmographicum (Mistério Cósmico) e, com esta obra, tornou-se o primeiro cientista conhecido a apoiar Copérnico publicamente. Kepler mostrou que o Sol impele os planetas para suas órbitas com uma força que diminui na proporção do quadrado da distância. Ainda assim, os cálculos de Kepler não conseguiam prever os eventos celestiais satisfatoriamente. Ele precisava de observações recentes dos planetas.

  O grande astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) possuía um grande número de dados planetários, mas ainda não tinha preparado suas observações para publicação. Em 1600, Kepler fugiu para Praga para evitar a perseguição religiosa e ficou sabendo que Brahe havia deixado a Dinamarca para montar um novo observatório nos arredores daquela cidade. Asssim, Kepler se tornou seu assistente, com a tarefa de editar os dados e prepará-los para publicação. Como parte de seu trabalho, Kepler tentou determinar a órbita de Marte. Brahe morreu no ano seguinte, mas Kepler continuou tentando solucionar o problema por seis anos. O sucesso chegou quando ele superou o erro – cometido pela maioria dos astrônomos – de que os planetas se moviam segundo combinações de movimentos circulares.

Kepler analisou as medidas que Brahe havia conseguido, e essas análises resultaram em diversas descobertas importantes. Em 1609, ele as resumiu em Nova Astronomia. O livro continha duas de suas três leis dos movimentos planetários: (1) os planetas seguem caminhos, ou órbitas, que têm a forma de elipses. O Sol está em um dos pontos focais da elipse. (2) Uma linha conectando cada planeta e o Sol varre áreas iguais a intervalos de tempo iguais. Em outras palavras, os planetas não se movem com velocidade uniforme; eles se movimentam mais rapidamente quando estão mais perto do Sol.

Kepler também ficou famoso por sua terceira lei astronômica, que apareceu em seu livro Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo, de 1619) e que diz que o cubo da distância de um planeta ao Sol dividido pelo quadrado de seu período de rotação (tempo gasto para dar uma volta completa em torno do Sol) é uma constante e igual para todos os planetas. Esta lei significa que a distância de um planeta ao Sol pode ser calculada se seu período de rotação for conhecido.

Kepler publicou os dados de Brahe em Tabelas Rudolfinas (de 1625). As tabelas do livro foram as melhores disponíveis por muitas décadas, e as descobertas de Kepler, feitas a apartir dos dados de Brahe, formaram a base para a lei da gravitação universal de Isaac Newton. Kepler morreu em 1630, em Regensburg, na Baviera.

Plano de Aula: Leis de Kepler

Identificação

Escola: Escola Estadual de Ensino Fundamental Astronomia para Vida

Nome do professor: Neemias Rodrigues de Vargas

Disciplina: Astronomia

Série: 2º ano ensino médio

Carga Horária: 4 horas

Data: 13/11/2014

Tema da aula

Leis de Kepler

Objetivos

Proporcionar aos estudantes 2º ano do ensino médio uma primeira aproximação, clara e precisa a partir do processo de sua concepção e das noções básicas indispensáveis para uma correta compreensão das leis de Kepler.

Conteúdo programático

Leis de Kepler:

v  Um breve histórico dos grandes pensadores;

v  Primeira lei de Kepler;

v  Segunda lei de Kepler;

v  Terceira lei de Kepler;

Desenvolvimento

      i.        Fazer um breve histórico dos grandes pensadores Cláudio Ptolomeu, Nicolau Copérnico, Tycho Brahe e Johannes Kepler.

    ii.        Explicar a primeira lei de Kepler e assistir um vídeo do filme Alexandria que conta a história de Hipátia (séc. IV D.C.) e de como ela percebeu que a órbita dos planetas era elíptica.  A atividade proposta se baseia neste vídeo.

   iii.        Feito a atividade, calcular a excentricidade de cada elipse feita pelos colegas e, usando o simulador da figura 1 abaixo, ver qual seria a trajetória do planeta da órbita obtida por cada aluno.

Figura 1: Simulador da 1ª lei de Kepler

   iv.        Explicar a segunda lei de Kepler e porque a velocidade aumenta no periélio e diminui do afélio.

      v.            Explicar a terceira lei de Kepler e deduzi-la a partir das leis de Newton (não sei se seria adequado para os alunos de ensino médio, talvez não deduza e apenas explique, partindo para as questões do blog).

    vi.            Observação:

Nas atividades propostas, farei uso do blog astronomiaparavida.blogspot.com.br.

 Recursos de ensino

Canetas, projetor e computador com acesso a internet.

Critérios de avaliação da aprendizagem

Entregar uma folha contendo algumas perguntas sobre os temas em questão e trabalhar com o simulador.

Referências

http://astro.if.ufrgs.br/coord.htm

http://astronomiaparavida.blogspot.com.br.htm

Exercícios: Coordenadas Astronômica